По следам Великого Комбинатора

Великий Комбинатор всегда находил выход из самых трудных положений. Как ему это удавалось? Может быть, он отличался от простых смертных тем, что видел много возможностей там, где другие видели всего одну, а то и ни одной. Это искусство – представить все многообразие вариантов – можно освоить, и называется оно комбинаторика..

Осваивать комбинаторику начнем с простейших ситуаций-задач. Те задачи, что тут же разбираются, мы называем примерами. На таких примерах мы и будем строить теорию комбинаторики: основные понятия и основные соотношения.
Все остальные задачи попробуйте решить сами, для их решения не нужно знать ничего, кроме выводов, которые получены из примеров. И, конечно, потребуется еще обычный жизненный опыт и здравый смысл.

Предупреждение 1. В комбинаторике мы будем говорить об элементах и множествах, состоящих из этих элементов. Иногда элементы – это предметы, которые можно пощупать: вещи, животные, люди, камешки, шарики и т.д. Но мы будем рассматривать и элементы другого сорта: числа, буквы, ноты, случаи, ходы в различных играх, события, состояния.

Предупреждение 2. Если вы хотите надежно усвоить комбинаторику – настолько, чтобы самостоятельно решать задачи и даже придумывать новые – весь материал (примеры, задачи, определения) лучше воспроизводить ручкой на бумаге. Итак…

Гость в дом – счастье в дом!Пример 1

Винни Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику и решили у него заночевать.
У Кролика в норе есть три комнаты для гостей: голубая, желтая и розовая. Каждый гость желает спать в отдельной комнате.
Сколько разных вариантов есть у Кролика разместить своих гостей и при этом выполнить их пожелания?

Решение.

Главная трудность такой задачи – учесть все варианты и при этом не учесть какой-нибудь вариант дважды. Для этого каждой комнате нужно присвоить порядковый номер, и каждому гостю – тоже (рис.1).

(рис.1)

Пусть Винни-Пух будет гостем №1. Тогда он может выбрать любую из трех комнат, т.е. у него варианта размещения: в голубой (№1), в желтой (№2), в розовой (№3).

(рис.2)

И дальше рассматривать варианты уже в выбранном порядке.
Тогда у Пятачка – гостя №2 – при каждом выборе Винни – Пуха останется 2 варианта поселения:

(рис.3)

Т.е. всего вариантов получается 3·2=6.