По следам Великого Комбинатора

В этой задаче составить списки было легко. Усложним задачу:

Пример 6.

Есть 13 человек, которые знают английский язык, и 9 человек, знающих немецкий, причем двое из них знают оба языка, Сколькими способами можно выбрать человека, знающего хотя бы один из языков?

Решение.

Опять главная трудность задачи (если не составлять списки) – учесть все варианты и никакой из вариантов не учесть дважды. При этом, в отличие предыдущего примера, вариантов много, и переписывать их все не хотелось бы.
Поэтому разделим нашу группу так, чтобы в каждой подгруппе были одинаковые элементы, по известной поговорке «котлеты отдельно, мухи – отдельно!».

Знающих только английский – их 11, потому что 2 из 13 , знающих английский знают оба языка (по условию);
знающих только немецкий – а их 7, потому что 2 из 9 , знающих немецкий, знают оба языка (по условию);
«полиглотов», знающих оба языка – их 2 (по условию).

Теперь понятно, что:
«чистого англичанина» из 11 человек можно выбрать одиннадцатью способами,
«чистого немца» – из 7 человек – можно выбрать семью способами,
«полиглота» из 2 человек можно выбрать двумя способами.
Т.е. всего разных вариантов получается 20 (а не 22, как могло бы показаться в начале).

Теперь можно сформулировать общее правило, т.е. получить общее решение задачи:
Если некоторый элемент из множества A можно выбрать m способами, а элемент из множество B можно выбрать n способами, при этом k элементов – общие для множеств А и В, то выбрать «либо A, либо B» можно m+n–k способами.