Размещения

Пример 8

Около дома под деревом стоял накрытый стол, а за столом пили чай Мартовский Заяц и Болванщик, между ними крепко спала Мышь-Соня. Болванщик и Заяц облокотились на нее, словно на подушку, и разговаривали через ее голову.

- Бедная Соня, – подумала Алиса. – Как ей, наверно, неудобно! Впрочем, она спит – значит, ей все равно.

Стол был большой, но чаевники сидели с одного края, на уголке. Завидев Алису, они закричали:

- Занято! Занято! Мест нет!

(Льюис Кэрролл. «Алиса в стране чудес»)

Решение.

Пусть за столом 12 мест. Сколькими способами можно рассадить за этим столом участников «Безумного чаепития»: Болванщика, Мартовского Зайца, Мышь-Соню и Алису.

Сколькими способами можно выбрать место для Алисы? Если оно уже выбрано, то сколько мест доступно для Сони? А сколькими способами можно посадить за стол первую пару?

Сколько теперь за столом свободных мест, на которые может сесть Болванщик? А теперь сколькими способами может занять место за столом Заяц?

Алиса может сесть на любое из 12 мест. Если Алиса уже за столом, то Соня может выбрать любое из 11 свободных мест. Значит, первая пара может сесть за стол 132 способами (при любом из 12 выборов Алисы существует 11 мест для Сони). Аналогично, Болванщик может выбрать любое из оставшихся 10 мест, а Мартовскому Зайцу после этого остается выбор из 9 вариантов. Тогда количество способов сесть за стол равно 12∙11∙10∙9 = 11880.

Пример 9

Пусть у волейбольного тренера в распоряжении есть 10 игроков, способных сыграть на любой позиции. Тренер должен назначить основной состав команды – выбрать 6 волейболистов и расставить их по площадке. Все расстановки считаются различными. Сколькими способами он может это сделать?

Решение.

На рисунке вы видите волейбольную площадку, на которой будет расставлена наша команда. Каждая половина площадки разделена на 6 зон – по числу игроков.

Сколькими способами тренер может выбрать игрока на позицию 1?

Если этот спортсмен уже выбран, то сколькими способами можно выбрать волейболиста на позицию 2?

А сколькими способами может быть выбрана первая пара?

Сколькими способами можно теперь выбрать третьего игрока? Четвертого? Пятого? Шестого?

Первого игрока можно выбрать 10 способами. Если он уже выбран, второй игрок может быть выбран 9 способами. Значит первая пара может быть выбрана 90 способами (для каждого из 10 «первых» есть 9 вариантов выбора «второго»). Аналогично, третьего волейболиста можнo выбрать 8 способами. Т.е. для каждого из 90 способов выборов второго есть 8 способов выбора третьего, т.е. тройку волейболистов можно выбрать 10∙9∙8=720 способами. Далее: четвертого можно выбрать 7 способами, пятого – шестью, и шестого – пятью.

Тогда количество возможных расстановок(т.е. разных шестерок ) равно

10•9•8•7•6•5 = 151200.