Размещения

Пример 10

Думаю, вам не раз приходилось делать подобный выбор. Например, в вашем городе есть 7 кинотеатров, а вы планируете три раза сходить в кино, причем в разные места.

Решение.

Кинотеатр, в который вы пойдете в первый раз, можно выбрать 7 способами, второй кинотеатр – только 6 способами(в первом кинотеатре вы уже были, а вы хотите в разные), а третий – 5 способами. Значит, количество разных вариантов «культурно отдохнуть» равно

7∙6∙5 = 210.

Обобщение. Вывод рабочей формулы.

Сформулируем общую задачу. Пусть у вас есть множество из n элементов, из которых нужно выбрать k штук. При этом порядок элементов важен. Первый элемент можно выбрать n способами, второй – (n-1) способом, третий – (n-2) способами и т.д.(вспомните мушкетеров с башнями, тренера с волейболистами, Болванщика с компанией). Тогда последний, k-й элемент можно выбрать (n-k+1) способом. , чтобы найти число способов, которым можно выбрать все k элементов, нужно перемножить все эти числа:

(1).

Это число называется числом размещений из n по k.

Если количество сомножителей мало, то этой формулой пользоваться нетрудно. Но представьте, как вы будете перемножать даже десяток сомножителей (особенно, если сами сомножители достаточно велики). Поэтому формулу для числа размещений можно записать более компактно. Умножим и разделим ее на произведение всех чисел от (n-k) до единицы:

(1а).

В числителе этой дроби стоит произведение всех чисел от 1 до n (оно называется факториалом числа n и обозначается n!), а в знаменателе – произведение всех чисел от 1 до n-k, то есть (n-k)!

(2).