Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по русски – двучлен.
(14).Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах
(15).
(16).Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа (13) для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?
Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):
(17).
(18).Теперь отдельно выпишем численные коэффиценты в правых частях формул (14) – (18) при возведении бинома в заданную степень:
(рис.5)Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице (рис.4). Легко проверить, что выписанные на рис. 5 численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):
Окончательно получим:
(рис.6)Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n. В левой части записываем (а+b)n. А в правой части записываем сумму аn + аn-1b + … + bn , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n–ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.
В результате получаем формулу:
(19).Или, с учетом формулы (11),
(20).Эта формула и называется формулой бинома Ньютона. Ее правую часть (а иногда и всю формулу) называют еще разложением бинома Ньютона.
Строго говоря, мы не доказали, а только убедились на нескольких примерах, что коэффициенты при akbn-k являются числами треугольника Паскаля. Теперь разберемся, почему так получается. Для этого докажем, что при раскрытии скобок в выражении (a+b)n при любом показателе n коэффициент при akbn-k будет равен Ckn .
Напишем n-ю степень двучлена (a+b) в виде произведения n сомножителей:
При раскрытии скобок слагаемое akbn-k будет получаться каждый раз, когда мы из k сомножителей берем a, а из оставшихся n-k сомножителей берем b. k сомножителей, из которых мы берем букву a, можно выбрать Ckn способами – именно столько раз и будет встречаться слагаемое akbn-k . После приведения подобных при akbn-k будет именно такой коэффициент: Ckn .
Например, если мы вычисляем (a+b)5, то, записав степень в виде произведения 5 сомножителей:
мы увидим, что, например, слагаемое a2b3 мы получим 10 раз, т.е. : C25
Здесь индексы обозначают, из какого по счету сомножителя взята буква.