Это не трубы

Задача 4

В 1925 году Атлантику пересек корабль, который приводился в движение вращением двух больших вертикальных цилиндров.

Объясните принцип действия такого корабля. Рассчитайте взаимосвязь между параметрами цилиндров и скоростью корабля. Сделайте численные оценки.

Решение

1. Эффект Магнуса.

rotor_sheep

Каждый цилиндр обтекается воздушным потоком. Если при этом цилиндр вращается, например, вокруг вертикальной оси по часовой стрелке, то точка A относительно потока движется быстрее, а точка B – медленнее (см. рис.1).

А по уравнению Бернулли различие скоростей в разных точках потока приводит к перепаду давления:

a

Скорости точек A и B можно выразить через скорость ветра vв и угловую скорость вращения цилиндра ω (R – радиус цилиндра)

b
c

Теперь можно из уравнения Бернулли получить перепад давлений

1(1).

где ρ – плотность воздуха.

Эта разность давлений создает силу, действующую на цилиндр перпендикулярно скорости ветра (рис.2). При этом корабль будет двигаться в направлении своего киля.

scheme_1

Из (1) имеем

2(2).

Появление такой силы называется эффектом Магнуса, эту силу будем называть силой Магнуса. Подставляя численные данные ρ = 1,3 кг/м3, R = 2м, H = 17м, ω = 8Π рад/с, получаем, что при скорости ветра vв = 10 м/с сила Магнуса Fм = 89 кН.

Получается, что каждый цилиндр действует примерно как парус. Сравним силу Магнуса с аэродинамической силой Fа=CρSv2 (3), действующей на парус:

4

Подставляя численные данные (те же и C = 1), получаем, что отношение сил равно 10.

2. Эффект Магнуса.

Выведем формулу для максимальной скорости корабля, которой он может достичь при заданной скорости ветра.

Для этого учтем, что на корабль кроме силы ветра действует еще и сила сопротивления воды. Для простоты будем считать, что корабль движется со скоростью vк в стоячей воде, площадь поперечного сечения подводной части корабля обозначим s(рис.2).

scheme_2

Тогда силу сопротивления воды можно найти по формуле, аналогичной формуле (3):

3'(3′).

здесь ρж –плотность воды.

Очевидно, если корабль разгоняется, его скорость будет расти до тех пор, пока сила Магнуса (2) не уравновесится силой сопротивления (3′). Но, поскольку сила Магнуса действует перпендикулярно скорости ветра, для достижения максимальной скорости необходимо, чтобы скорость ветра относительно корабля vВК была перпендикулярна курсу судна.

На чертеже(рис.3) видно, что в этом случае скорость ветра – гипотенуза прямоугольного треугольника, а скорость судна и скорость ветра относительно судна – катеты.

scheme_3

d

Тогда максимальная скорость корабля определяется уравнением

4(4).
4'(4′).
откуда, решив биквадратное уравнение, найдем максимальную скорость корабля при заданной скорости ветра:

5(5).
Ниже представлены таблица и график зависимости максимальной скорости судна (в м/с, км/ч и узлах) от скорости ветра. Подставленные численные данные:

ρж = 1000 кг/м3, ρг = 1,3 кг/м3, R = 2м, H = 17м, ω = 8π рад/с, с = 0,1, s = 15 м2.

d
v ветра vmax (м/с) vmax (км/ч) vmax (уз)
1 0,69749091 2,510967261 1,35581386
2 1,34629899 4,846676381 2,61699589
3 1,92696028 6,937057019 3,74571113
4 2,44288038 8,794369377 4,74857958
5 2,90472046 10,45699367 5,64632488
6 3,32295301 11,96263083 6,45930391
7 3,70603718 13,34173385 7,20395996
8 4,06045828 14,61764981 7,89289947
9 4,39115124 15,80814446 8,53571515
10 4,70190319 16,92685148 9,13976862
11 4,99566141 17,98438109 9,71078893
12 5,27475517 18,9891186 10,2533038
13 5,54105323 19,94779163 11,266671
14 5,79607629 20,86587463 11,266671
15 6,04107789 21,7478804 11,742916

Например, при vв = 10 м/с максимальная скорость судна будет равна vmax = 4,7 м/с = 16,9 км/ч = 9,1 узла.