Основные понятия теории вероятностей

Как быть, если бабушка надвое сказала

Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями – такими, исход которых точно предсказать невозможно. Упадет ли подброшенная монета орлом или решкой?

Сдадут ли вам двух тузов при игре в дурака? Заболеет ли гриппом мистер Х этой осенью? Произойдет ли в этом году на Земле разрушительное землетрясение?

Интуитивно понятно, что для оценки шансов нужно «огласить весь список» событий – и благоприятных, и неблагоприятных, и чем больше в этом списке доля благоприятных событий – тем выше наши шансы.

На этих представлениях и основано определение вероятности:

вероятность некоторого события – это отношение числа случаев, в которых это событие происходит, к числу всех возможных случаев.

Например, для бросания монеты возможны два варианта – либо орел, либо решка – можно считать эти два события равновозможными, поэтому вероятность выпадения орла равна $1/2$.

Точно так же вероятность выпадения шестерки на игральной кости равна $1/6$, а вероятность вытянуть из полной колоды карт пиковую даму равна $1/52$.

Классическое определение вероятности.

Игра 1

Капитан де Тревиль подбросил монету. Атос считает, что выпадет орел, а Портос – что решка.
У кого из них больше шансов выиграть? Или спросим по-другому, если они будут играть достаточно долго, кто будет выигрывать чаще?



Игра 2

Теперь вместо монеты бросают игральную кость. Атос поставил на то, что выпадет четное число очков. Портос считает, что выпавшее число очков разделится на три. А Арамис, натура утонченная и поэтичная, сделал ставку на то, что выпавшее число начинается с согласной.
У кого из троих мушкетеров больше шансов на выигрыш? Могут ли Атос и Портос выиграть одновременно? А может ли Портос выиграть, а Арамис – проиграть?



Игра 3

Когда мушкетерам надоело играть в давно приевшиеся игры, они придумали новую. В мешок сложили полный комплект шахматных фигур. Четверо друзей сделали такие ставки:
Атос: я извлеку из мешка черную фигуру.
Портос: А я вытащу за шкирку самого короля – и мне плевать, какого цвета!
Арамис: Пусть Господь пошлет мне пешку.
Д’Артаньян: А я хочу белого коня. Он принесет мне удачу.

У кого из мушкетеров больше шансов на выигрыш. Можно ли найти двоих, чьи шансы равны? Кто из четверых друзей может выиграть одновременно?


Во всех описанных случаях результат игры состоит в том, что проводится испытание с несколькими равновозможными исходами.

В первом случае количество исходов равно двум (орел или решка, причем одна сторона монеты ничем не выделяется в сравнении с другой), во втором – шести (может выпасть любое число очков от 1 до 6, причем никакой грани нельзя отдать предпочтение), в третьем – 32 (может быть вытянута любая из 32 шахматных фигур).

Во всех подобных случаях применимо классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к количеству всех возможных исходов.

Например:

В игре 1 (орлянка) вероятности орла и решки равны по $1/2$ (и орел, и решка – это один исход из двух равновозможных). Поэтому у обоих мушкетеров шансы на выигрыш равны.

Во второй игре из шести равновозможных вариантов падения кубика Атоса устраивают три (2, 4, 6), Портоса – два (3 и 6), Арамиса – пять (все, кроме 1, ведь слово «один» начинается на гласную, а «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть» – на согласную) . Значит, вероятность выигрыша Атоса равна $3/6=1/2$, Портоса – $2/6=1/3$, Арамиса – $5/6$.

В игре с шахматными фигурами из 32 равновозможных исходов Портоса устраивают два (белый и черный короли), д’Артаньяна – тоже два (любой из белых коней), Атоса – 16 (любая черная фигура), и Арамиса – тоже 16 (любая из 8 белых пешек или любая из 8 черных). Значит, вероятность выигрыша для Портоса или д’Артаньяна равна $2/32=1/16$, а для Атоса или Арамиса равна $16/32=1/2$.

ЗАДАЧИ:

Задача 1.

Из комплекта домино наудачу вытягивают одну кость. Какова вероятность, что на ней будет 0 очков? 5 очков? Не более 12 очков? 13 очков?Решение



Задача 2.

Вы наудачу ткнули карандашом в оглавление сборника рассказов А. Конан Дойля. Какова вероятность, что вы выбрали рассказ «Союз рыжих»? Решение



Задача 3.

Из списка вашего класса (студенческой группы) наугад выбран один человек. Какова вероятность, что его зовут Александр? А какова вероятность, что его фамилия начинается на мягкий знак?Решение