Основные понятия теории вероятностей

Пространство событий

В классическом определении вероятности вам встретились слова «событие», «исход, благоприятствующий событию». Дадим этим понятиям определения.

Рассмотрим испытание, при котором возможны n равновероятных исходов. Обозначим множество всех возможных исходов через E, и назовем пространством событий.

Любое подмножество A множества E будем называть случайным событием (или просто событием), Каждый из исходов по отдельности – тоже событие, оно называется элементарным.

Например, при игре в орлянку пространство событий включает два элементарных события, при бросании игральной кости – шесть, при игре с шахматными фигурами – 32. Чтобы подсчитать количество исходов в пространстве событий, можно применять законы и формулы комбинаторики. Например, при бросании пяти монет одновременно пространство событий содержит $25=32$ элементарных события (см. пункт «основные законы комбинаторики); если мы рассматриваем различные раздачи карт при игре в преферанс, пространство содержит 2 753 294 408 504 640 элементарных событий (задача 2 в пункте «сочетания».

Любой исход $E_{i}$, принадлежащий подмножеству A, будем называть благоприятным для события A.

Например, в игре с шахматными фигурами Атос поставил на событие «из мешка вытянули черную фигуру», и этому событию благоприятствуют 16 исходов. Портос же поставил на событие, для которого благоприятны только два исхода: «белый король» и «черный король».

Событие называется достоверным, если все возможные исходы для него благоприятны, и невозможным, если ни один исход для него не благоприятен. Иными словами, достоверное событие – это множество, совпадающее со всем пространством событий (например, «вытянули фигуру, название которой начинается на согласную»). Невозможное же событие – это пустое множество. Например, «вытянули зеленую пешку».

Вероятность события обозначают буквой p; иногда после нее ставится буквенное обозначение события: p(A). Если событию A благоприятствуют m исходов из n равновозможных, то

$$p(A)=\frac{m}{n}$$

Из определения достоверного и невозможного событий видно, что вероятность достоверного события равна единице, невозможного – нулю.

Числитель и знаменатель вероятности часто находят с помощью комбинаторных формул или рассуждений. Поэтому классическое определение вероятности еще называют комбинаторным.

Вернемся к задаче 12 в разделе «Комбинаторика», теперь зададим к ней вероятностный вопрос.

Пример 1.

Бременские музыканты (Трубадур, Осел, Пес, Кот и Петух) дают небольшой концерт, в котором каждый исполняет по одной песне. Какова вероятность, что Кот будет выступать сразу после Пса? Решение

Задача 1.

Бросили две игральные кости. Сколько исходов содержит пространство событий при этом испытании?
Какова вероятность, что:
а) На первом кубике выпало меньше 4 очков, а на втором – больше 4;
б) На первом кубике выпало больше очков, чем на втором;
в) На обоих кубиках выпала сумма в k очков? Ответить на этот вопрос для всех k от 1 до 12
Решение

Задача 2.

Для экзамена предложено 30 вопросов. В билет включается два случайно выбранных вопроса из этих 30.
Студент твердо знает 10 из этих 30 вопросов, а об остальных вообще не имеет понятия.
Сколько исходов содержит пространство событий?
Какова вероятность, что студент ответит на оба вопроса своего билета? Ровно на один вопрос? Ни на один вопрос?
Решение

Задача 3.

16 клубов премьер-лиги чемпионата Украины случайным образом разделили на две группы – по 8 команд в каждой.
Какова вероятность, что клубы «Динамо» (Киев) и «Шахтер» (Донецк) попадут в разные группы? Решение

Продолжение следует