Лестница к звездам

1. Шкала крутости, или как объять необъятное

image_1

Глядя на звездное небо, сразу видим, что звезды сильно отличается друг от друга по яркости. И нужно это отличие количественно описать. Для простоты начнем с житейских примеров.

Допустим, мы захотели расположить бизнесменов всей Земли по их «финансовой крутости». Диапазон «крутости» меняется от десятков миллиардов долларов у миллиардеров до одного доллара, скажем, у мальчишек, играющих на деньги.

Можно ли предложить шкалу, охватывающую весь этот огромный диапазон?

Оказывается, можно, и даже не очень сложно.

Назовем бизнесмена, располагающего десятком миллиардов (N=1010$) бизнесменом первой величины(m=1).

Бизнесмена, располагающего миллиардом долларов (N=109$)

бизнесменом второй величины(m=2).

Получается такая «шкала крутости», охватывающая весь огромный диапазон:

Состояние Крутость
N=1010$ m=1
N=109$ m=2
N=108$ m=3
N=107$ m=4
N=106$ m=5
N=105$ m=6
N=104$ m=7
N=103$ m=8
N=102$ m=9
N=101$ m=10
N=100$ m=11

Легко убедиться, что если крутости отличается на единицу – состояния отличаются в десять раз, если крутости отличаются на три – состояния отличаются в тысячу раз, и т.д.

Скажем, бизнесмен пятой величины в сто раз богаче бизнесмена седьмой величины. Это можно выразить простой формулой:

1(1).

или, кто понимает в логарифмах,

1_1(1′).

Другой пример: скажем, нужно сделать классификацию населенных пунктов Земли по количеству населения. Которое меняется от единиц ( отдельная ферма) до десятков миллионов (мегаполисы). Как можно разбить на небольшое число классов такой дипазон? Т.е. построить шкалу населенности?

Ну, вы уже поняли:

назовем населенные пункты с десятью миллионов (N=107) – населенными пунктами первой величины (m=1).

Населенные пункты с миллионом жителей (N=106) – населенными пунктами второй величины (m=2).

с сотней тысяч жителей (N=105) – третьей величины, и т.д.

Получается такая «шкала населенности»

N=107$ m=1
N=106$ m=2
N=105$ m=3
N=104$ m=4
N=103$ m=5
N=102$ m=6
N=101$ m=7
N=100$ m=8

Получается, что если величины m отличаются друг от друга на единицу – населенность отличается в 10 раз, если на 2 единицы – в 100 раз. Опять же, это можно выразить формулой (проверьте)

1(1).

Вы теперь можете для тренировки составить, например, шкалу веса млекопитающих от землеройки весом 5 грамм до синего кита весом весом 190 тонн, или шкалу быстродействия счетных устройств от одной операции в секунду(устройство «десять пальцев») до десяти триллионов операций в секунду (самый быстродействующий компьютер на момент написания этого текста). А мы переходим к шкале звездных величин.

2. Шкала звездных величин

Еще первобытные люди заметили, что не все звезды одинаково яркие. А во втором веке до нашей эры древнегреческий астроном Гиппарх, можно сказать, поставил звездам школьные отметки. Он разделил все звезды на шесть величин. Самые яркие звезды неба (Сириус, Арктур, Вегу, Капеллу и еще около десятка) он назвал «звездами первой величины», а звезды, едва различимые глазом – звездами шестой величины.

В XIX веке, через 2000 лет после Гиппарха, научились измерять освещенность (мощность излучения, падающая на единицу площади приемника, приемником может быть и глаз). И тогда выяснилось, что звезды первой величины во столько же раз ярче, чем звезды второй, во сколько сами «вторые» ярче «третьих», и т.д. Т.е. блеск звезд подчинялся той же закономерности, что и крутость бизнесменов. Разница в том, что в шкале крутости бизнесменов «ступенька» равна десяти, а в шкале блеска звезд эту ступеньку (обозначим ее Х), еще надо вычислить, опираясь на тот факт, что звезды первой величины оказались ровно в 100 раз ярче звезд шестой величины:

E1/E6 = 100      (2)

Выстраиваем блеск звезд по ступенькам:

E1/E2 = Х
E2/E3 = Х, тогда, очевидно, E1/E3 = Х2
E3/E4 = Х, тогда, очевидно, E1/E4 = Х3      (3)
E4/E5 = Х E1/E5 = Х4
E5/E6 = Х E1/E6 = Х5

Но, с другой стороны, по формуле (2) E1/E6 = 100, тогда получается, что Х5 = 100, откуда

4(4).

Теперь все соотношения таблицы (3) можно представить в виде одной «формулы крутости», которая связывает звездные величины n и k с интенсивностью блеска звезды

5(5).

или

5_1(5′).

Легко проверить, что из этой формулы действительно получается таблица (3). А для тех, кто уже не одну собаку съел на логарифмах, можно записать это равенство и так:

6(6).

или

6_1(6′).

Хотелось бы, чтобы звездная величина стала не просто «оценкой в баллах» (ведь разные отличники владеют предметом в разной степени, и разные троечники – тоже в разной степени), а полноправной физической величиной. Для этого нужно определить физическое значение блеска звезды (т.е. интенсивность излучения, освещенность) для какой-нибудь звезды. Поступили так: ввели «звезду нулевой величины» – Вегу из созвездия Лиры, измерили освещенность, которую она создает(интенсивность ее излучения), и приняли ее за Е0.

Оказалось

Е0 =2,54•10−6люкс ≈ 3,72∙10-9Вт/м2      (7)

Теперь можно с помощью формул (5) или (5′) определить интенсивность излучения(освещенность) любого светила

8(8).

или, наоборот, зная освещенность, создаваемую источником(например, прожектором), рассчитать «звездную величину» этого объекта по формулам (6) и (6′):

8_1(8′).

3. От чего зависит звездная величина?

Очевидно, от двух параметров: от полной мощности, которую излучает звезда и от расстояния от звезды до наблюдателя. Эту связь несложно установить и выразить простой формулой. Тогда, зная мощность излучения и видимую величину, можно определить расстояние. Или, зная звездную величину и расстояние, можно определить светимость.

Пусть звезда излучает световую мощность L (эта величина называется светимостью), а наблюдатель находится на расстоянии r от нее. Если мысленно окружить звезду сферой радиуса r, на единицу поверхности сферы будет попадать энергия

9(9),

это как раз и будет освещенность, выраженная в Вт/м2. Тогда, очевидно,

9_1(9′),

Подставляя сюда (8) можно выразить светимость звезды через звездную величину и расстояние до нее

10(10),

4. Абсолютная звездная величина.

Итак, получается, что видимая звездная величина зависит как от светимости звезды, так и от расстояния до нее. Если мы хотим сравнивать звезды между собой только по их светимости, нужно посмотреть на все звезды с одного и того же расстояния. В реальности мы менять расстояние до звезд не можем, но можем это сделать с помощью «мысленного эксперимента».

Пусть звезда со светимостью L находится от нас на расстоянии r1, тогда ее видимая величина m тоже известна. Мысленно отправим ее на стандартное расстояние

r2 = 10парсек ≈ 3,2∙1017м

1017м (это примерно 33 световых года).

Видимую на таком расстоянии звездную величину М будем называть бсолютной звездной величинойа. Установить связь между абсолютной величиной М видимой величиной m можно с помощью формул (5) и (9):

Запишем формулу (5) в виде

11(11),

здесь Е2 – освещенность, которую звезда создавала бы на расстоянии r2,

Е1 – освещенность, которую она дает реально, находясь на расстоянии r1.

Поскольку звезда одна и та же, светимость L не изменилась, тогда, подставляя в (10) формулу (9) получим

12(12),

или, вспомнив, что по формуле (4)

12_a,

получим из (12)

12_1(12′),

Логарифмируя обе части, получим

12_b,

в этом соотношении все известно, кроме искомой величины М, ее и находим:

13(13),

Например, для Солнца m = – 26,8 , r1=1,5∙1011м, r2 = 10парсек≈3,2∙1017м, получаем М=4,7 , т.е. Солнце с расстояния 10 парсек будет выглядеть как слабая звездочка около пятой величины.

Вот таблица, в которой указаны самые яркие звезды и их звездные величины.

Объект Созвездие m
Сириус Большой пёс −1,47
Канопус Киль −0,72
α Центавра Центавр −0,27
Арктур Волопас −0,04
Вега Лира +0,03
Вега Лира +0,03
Капелла Возничий +0,08
Ригель Орион +0,12
Процион Малый пёс +0,38
Ахернар Эридан +0,46
Бетельгейзе Орион +0,50
Альтаир Орёл +0,75
Альдебаран Телец +0,85
Антарес Скорпион +1,09
Поллукс Близнецы +1,15
Фомальгаут Южная рыба +1,16
Денеб Лебедь +1,25
Регул Лев +1,35