1. Шкала крутости, или как объять необъятное

Глядя на звездное небо, сразу видим, что звезды сильно отличается друг от друга по яркости. И нужно это отличие количественно описать. Для простоты начнем с житейских примеров.

Допустим, мы захотели расположить бизнесменов всей Земли по их «финансовой крутости». Диапазон «крутости» меняется от десятков миллиардов долларов у миллиардеров до одного доллара, скажем, у мальчишек, играющих на деньги.

Можно ли предложить шкалу, охватывающую весь этот огромный диапазон?

Оказывается, можно, и даже не очень сложно.

Назовем бизнесмена, располагающего десятком миллиардов (N=10¹⁰$) бизнесменом первой величины(m=1).

Бизнесмена, располагающего миллиардом долларов (N=10⁹$)

бизнесменом второй величины(m=2).

Получается такая «шкала крутости», охватывающая весь огромный диапазон:

Состояние	Крутость
N=1010$	m=1
N=109$	m=2
N=108$	m=3
N=107$	m=4
N=106$	m=5
N=105$	m=6
N=104$	m=7
N=103$	m=8
N=102$	m=9
N=101$	m=10
N=100$	m=11

Легко убедиться, что если крутости отличается на единицу – состояния отличаются в десять раз, если крутости отличаются на три – состояния отличаются в тысячу раз, и т.д.

Скажем, бизнесмен пятой величины в сто раз богаче бизнесмена седьмой величины. Это можно выразить простой формулой:

или, кто понимает в логарифмах,

Другой пример: скажем, нужно сделать классификацию населенных пунктов Земли по количеству населения. Которое меняется от единиц ( отдельная ферма) до десятков миллионов (мегаполисы). Как можно разбить на небольшое число классов такой дипазон? Т.е. построить шкалу населенности?

Ну, вы уже поняли:

назовем населенные пункты с десятью миллионов (N=10⁷) – населенными пунктами первой величины (m=1).

Населенные пункты с миллионом жителей (N=10⁶) – населенными пунктами второй величины (m=2).

с сотней тысяч жителей (N=10⁵) – третьей величины, и т.д.

Получается такая «шкала населенности»

N=107$	m=1
N=106$	m=2
N=105$	m=3
N=104$	m=4
N=103$	m=5
N=102$	m=6
N=101$	m=7
N=100$	m=8

Получается, что если величины m отличаются друг от друга на единицу – населенность отличается в 10 раз, если на 2 единицы – в 100 раз. Опять же, это можно выразить формулой (проверьте)

Вы теперь можете для тренировки составить, например, шкалу веса млекопитающих от землеройки весом 5 грамм до синего кита весом весом 190 тонн, или шкалу быстродействия счетных устройств от одной операции в секунду(устройство «десять пальцев») до десяти триллионов операций в секунду (самый быстродействующий компьютер на момент написания этого текста). А мы переходим к шкале звездных величин.

2. Шкала звездных величин

Еще первобытные люди заметили, что не все звезды одинаково яркие. А во втором веке до нашей эры древнегреческий астроном Гиппарх, можно сказать, поставил звездам школьные отметки. Он разделил все звезды на шесть величин. Самые яркие звезды неба (Сириус, Арктур, Вегу, Капеллу и еще около десятка) он назвал «звездами первой величины», а звезды, едва различимые глазом – звездами шестой величины.

В XIX веке, через 2000 лет после Гиппарха, научились измерять освещенность (мощность излучения, падающая на единицу площади приемника, приемником может быть и глаз). И тогда выяснилось, что звезды первой величины во столько же раз ярче, чем звезды второй, во сколько сами «вторые» ярче «третьих», и т.д. Т.е. блеск звезд подчинялся той же закономерности, что и крутость бизнесменов. Разница в том, что в шкале крутости бизнесменов «ступенька» равна десяти, а в шкале блеска звезд эту ступеньку (обозначим ее Х), еще надо вычислить, опираясь на тот факт, что звезды первой величины оказались ровно в 100 раз ярче звезд шестой величины:

Выстраиваем блеск звезд по ступенькам:

Но, с другой стороны, по формуле (2) E₁/E₆ = 100, тогда получается, что Х⁵ = 100, откуда

Теперь все соотношения таблицы (3) можно представить в виде одной «формулы крутости», которая связывает звездные величины n и k с интенсивностью блеска звезды

или

Легко проверить, что из этой формулы действительно получается таблица (3). А для тех, кто уже не одну собаку съел на логарифмах, можно записать это равенство и так:

или

Хотелось бы, чтобы звездная величина стала не просто «оценкой в баллах» (ведь разные отличники владеют предметом в разной степени, и разные троечники – тоже в разной степени), а полноправной физической величиной. Для этого нужно определить физическое значение блеска звезды (т.е. интенсивность излучения, освещенность) для какой-нибудь звезды. Поступили так: ввели «звезду нулевой величины» – Вегу из созвездия Лиры, измерили освещенность, которую она создает(интенсивность ее излучения), и приняли ее за Е₀.

Оказалось

Теперь можно с помощью формул (5) или (5′) определить интенсивность излучения(освещенность) любого светила

или, наоборот, зная освещенность, создаваемую источником(например, прожектором), рассчитать «звездную величину» этого объекта по формулам (6) и (6′):

3. От чего зависит звездная величина?

Очевидно, от двух параметров: от полной мощности, которую излучает звезда и от расстояния от звезды до наблюдателя. Эту связь несложно установить и выразить простой формулой. Тогда, зная мощность излучения и видимую величину, можно определить расстояние. Или, зная звездную величину и расстояние, можно определить светимость.

Пусть звезда излучает световую мощность L (эта величина называется светимостью), а наблюдатель находится на расстоянии r от нее. Если мысленно окружить звезду сферой радиуса r, на единицу поверхности сферы будет попадать энергия

это как раз и будет освещенность, выраженная в Вт/м₂. Тогда, очевидно,

Подставляя сюда (8) можно выразить светимость звезды через звездную величину и расстояние до нее

4. Абсолютная звездная величина.

Итак, получается, что видимая звездная величина зависит как от светимости звезды, так и от расстояния до нее. Если мы хотим сравнивать звезды между собой только по их светимости, нужно посмотреть на все звезды с одного и того же расстояния. В реальности мы менять расстояние до звезд не можем, но можем это сделать с помощью «мысленного эксперимента».

Пусть звезда со светимостью L находится от нас на расстоянии r₁, тогда ее видимая величина m тоже известна. Мысленно отправим ее на стандартное расстояние

10¹⁷м (это примерно 33 световых года).

Видимую на таком расстоянии звездную величину М будем называть бсолютной звездной величинойа. Установить связь между абсолютной величиной М видимой величиной m можно с помощью формул (5) и (9):

Запишем формулу (5) в виде

здесь Е₂ – освещенность, которую звезда создавала бы на расстоянии r₂,

Е₁ – освещенность, которую она дает реально, находясь на расстоянии r₁.

Поскольку звезда одна и та же, светимость L не изменилась, тогда, подставляя в (10) формулу (9) получим

или, вспомнив, что по формуле (4)

получим из (12)

Логарифмируя обе части, получим

в этом соотношении все известно, кроме искомой величины М, ее и находим:

Например, для Солнца m = – 26,8 , r₁=1,5∙10¹¹м, r₂ = 10парсек≈3,2∙10¹⁷м, получаем М=4,7 , т.е. Солнце с расстояния 10 парсек будет выглядеть как слабая звездочка около пятой величины.

Вот таблица, в которой указаны самые яркие звезды и их звездные величины.

Объект	Созвездие	m
Сириус	Большой пёс	−1,47
Канопус	Киль	−0,72
α Центавра	Центавр	−0,27
Арктур	Волопас	−0,04
Вега	Лира	+0,03
Вега	Лира	+0,03
Капелла	Возничий	+0,08
Ригель	Орион	+0,12
Процион	Малый пёс	+0,38
Ахернар	Эридан	+0,46
Бетельгейзе	Орион	+0,50
Альтаир	Орёл	+0,75
Альдебаран	Телец	+0,85
Антарес	Скорпион	+1,09
Поллукс	Близнецы	+1,15
Фомальгаут	Южная рыба	+1,16
Денеб	Лебедь	+1,25
Регул	Лев	+1,35