Вышиб дно и вышел вон!

Задача 10

В книге рекордов Гиннеса описано, как каратист бьет ладонью по горлышку стеклянной бутылки, при этом у бутылки вылетает дно, а сама бутылка остается целой. Объясните явление, опишите теоретически, сделайте численные оценки.

Решение
1. Явление гидравлического удара.
scheme_1

Представим себе, что порция жидкости, имеющая скорость v, налетает на неподвижное препятствие с площадью S (рис.1).

В результате у препятствия образуется сжатая область, в которой вода покоится. Границы этой области перемещаются вдоль порции жидкости, очевидно, со скоростью звука с (скорость звука – это скорость, с которой распространяется в среде упругое возмущение).

За время Δt остановятся те частицы жидкости, до которых успело дойти возмущение. Эти частицы находятся в объеме ΔV=SΔl= ScΔt, масса жидкости в этом объеме Δm=ρΔV=ρScΔt, она при остановке передает препятствию импульс Δp = vΔm = ρ SvcΔt.

Тогда, по 2 закону Ньютона, на препятствие действует со стороны жидкости сила

1(1).

При этом жидкость развивает на препятствие давление

2(2).

Если рассмотреть это явление в системе отсчета, связанной с препятствием, увидим, что при движении твердого тела в жидкости эта жидкость испытывает гидравлический удар со стороны твердого тела. Это происходит, если жидкость «заперта» в каком-то объеме, а также в случае очень быстрого воздействия.

2. Удар по горлышку бутылки.
scheme_2

Мы рассмотрим случай, когда каратист бьет по горлышку заполненной бутылки, которая закрыта пробкой (рис.2). (Роль пробки может сыграть и сама бьющая ладонь, но для этого вода в бутылку должна быть налита с «мениском»).

Если скорость руки в момент удара равна v, пробка тоже приобретет скорость v. При этом в той части жидкости, что соприкасается с пробкой, возникнет давление, определяемое формулой (2).

В нашем случае ρ – плотность жидкости в бутылке, c – скорость звука в жидкости, v – скорость ладони в момент удара, т.е. скорость пробки. По закону Паскаля это давление передается в каждую точку жидкости (рис 2).

При этом на дно бутылки действует сила гидравлического удара F, определяемая формулой (1), где где S – площадь дна.

Под действием этой силы «на стыке» дна и остальной бутылки возникает механическое напряжение . Если оно превышает предел прочности стекла, то бутылка ломается – дно вылетает.

scheme_3

Это напряжение равно отношению действующей силы F к площади сечения бутылки s1 , где s1 – то сечение, по которому отламывается дно – кольцо с радиусом, равным внутреннему радиусу дна бутылки и шириной, равной ширине его стенок (рис.3).

2(2).

Из условия, что механическое напряжение должно превзойти предел прочности σпр стекла, находим, с какой скоростью нужно ударить по бутылке, чтобы дно отломалось. Из формулы (3), подставляя σ=σпр, получим

3(3).

Подставляя формулы для площадей S = ΠR2, s1=2ΠRδ (R – радиус дна бутылки, δ – толщина ее стенок), получаем

4(4).

Найдем эту скорость численно. Предел прочности стекла σпр лежит в пределах от 60 до 120 МПа. Радиус дна бутылки R=3,5 см, а толщина стенок δ = 0,2 см.

Подставляя ρ = 1000 кг/м3, c =1450 м/с получаем v = 4,7 м/с при σпр = 60 МПа и v = 9,5 м/с при σпр=120 МПа. Такая скорость руки вполне достижима.

Проверим, можно ли таким способом сломать пустую бутылку (вернее, заполненную воздухом, c = 330 м/с, ρ = 1,3 кг/м3). В этом случае при σпр = 60 МПа была бы необходима скорость удара около 16 км/с. С этим не справится никакой каратист.

Может быть, эффект возможен и для пустой бутылки, если «гидравлический удар» возникает в самом веществе стекла.