Задача 5

Бах-бах – и мимо!

Ольга Зайцева, участница Кубка мира 2011 г. по биатлону, стреляя по мишени из винтовки, сделала шесть промахов из восьми выстрелов. Эту неудачу она объяснила тем, что дул сильный ветер и «пули сносило на целую мишень!».

Объясните принцип действия такого корабля. Рассчитайте взаимосвязь между параметрами цилиндров и скоростью корабля. Сделайте численные оценки.

Насколько это объяснение правдоподобно с физической точки зрения? Рассчитайте теоретически влияние ветра на снос пули и сделайте численные оценки.

Оргкомитет юниорской лиги ТЮФ запрещает эксперименты со стрелковым оружием без представителя Вооруженных сил.

Решение

Чтобы слова спортсменки были правдой, необходимо, чтобы за то время, пока пуля летит от ствола к мишени, она сдвинулась в перпендикулярном направлении (в котором дует ветер) на расстояние, равное диаметру мишени. Для простоты движение пули к мишени будем считать равномерным, а движение под действием ветра – равноускоренным, позже мы докажем справедливость этих упрощений.

Выберем систему координат, в которой ось y совпадает с направлением «стрелок-мишень», а ось x – с направлением ветра.

Пусть биатлонист(ка) стреляет с расстояния L_y (в биатлоне L_y = 50 м). Если скорость выхода пули из ствола равна v_y, то время, за которое пуля достигнет мишени (или, в нашем случае, линии мишеней) равно

(1).

За это время пуля пройдет по оси x расстояние, равное

(2).

(напомним, что начальная скорость пули направлена только по оси у, а по оси х начальная скорость равна нулю).

Здесь a_x – ускорение, сообщаемое аэродинамической силой. Эта сила равна

(3).

Где v_в – скорость ветра, ρ_возд – плотность воздуха, S=l∙d – площадь продольного сечения пули. Очевидно, ветер действует именно на продольное сечение пули.

Тогда

(4).

где m – масса пули.

Подставляя (1) и (4) в (2), получаем:

(5).

откуда находим скорость ветра, необходимую для сноса пули на диаметр мишени ∆x=D

(6).

где d и l – диаметр и длина пули.

Числовые параметры (по правилам соревнований по биатлону):

L_y = 50м, скорость вылета пули из ствола v_y0 = 380 м/с, масса пули m = 2,6 г, диаметр пули d = 5,6 мм, длина пули l = 2 см, диаметр мишени D = 0,115 м; учтем, что плотность воздуха ρвозд = 1,3 кг/м³. Подставляя эти данные в формулу (6), получаем ответ к задаче, поставленной в условии: снос пули «на целую мишень» происходит при скорости ветра v_в = 14 м/с, что соответствует 7 баллам по шкале Бофорта (крепкий ветер). Выходит, что объяснение биатлонистки Ольги Зайцевой с физической точки зрения правдоподобно.

Осталось выяснить, правомерны ли были наши приближения (движение пули по оси у считали равномерным, а по оси х равноускоренным).

Время полета пули, оцененное по формуле (1), получилось t = 0,13 с. Отрицательное ускорение a_y, сообщаемое пуле силой сопротивления воздуха, можно вычислить по формуле (4), подставив площадь поперечного сечения и начальную скорость пули:

(7).

Подстановка численных значений дает a_y = – 177 м/с². За время t = 0,13 с скорость пули по оси Oy уменьшится на ∆vy= 23 м/с, что мало в сравнении с начальной скоростью v_y0 . За это же время под действием ветра пуля приобретет скорость по оси: v_x= a_xt = 1,4 м/с, что мало в сравнении со скоростью ветра. Оба приближения вполне применимы.