ЗАДАЧИ
Задача 1.
Замок сейфа состоит из 5 дисков, на каждый из которых нанесены 12 букв. Сколькими способами можно выбрать секретное пятибуквенное «слово», отпирающее замок?Решение
Каждую из пяти букв секретного слова можно выбрать 12 способами. Т.е. нам нужно 5 раз (для каждого диска) сделать выбор из 12 вариантов (букв на диске). Значит, согласно правилу степени, количество различных слов равно 125 = 248832.
Задача 2.
Из Цветочного города в Зеленый город ведут 3 дороги, из Зеленого в Солнечный – 2 дороги, а из Зеленого в Лунный – 4 дороги. Незнайка живет в Цветочном городе и хочет поехать либо в Солнечный город, либо в Лунный, заехав при этом в Зеленый город. Сколько существует различных маршрутов такого путешествия?Решение
По правилу произведения из Цветочного города в Солнечный через Зеленый ведут 6 дорог, а из Цветочного в Лунный через Зеленый – 12. Значит по правилу суммы у нашего путешественника 18 различных маршрутов.
Задача 3.
Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске о белую и черную клетки, не лежащие на одной горизонтали и вертикали?Решение
На шахматной доске 32 белых поля и 32 черных, причем каждая горизонталь и вертикаль состоит из четырех белых и 4 черных клеток.
Начнем с белых клеток. Белую клетку можно выбрать 32 различными способами. Выберем одну из них, например, A2. Из 32 черных полей нельзя выбирать четыре поля, лежащие на одной горизонтали с выбранным белым полем, и еще четыре, расположенные с ним с ним на одной вертикали (посмотрите на шахматную доску и убедитесь, что это так. Назовите эти черные поля, недопустимые по условию для поля A2). Значит, черную клетку при уже выбранной белой можно выбрать 24 различными способами. Точно так же для любой другой белой клетки. По правилу произведения всего возможно 32×24 = 768 вариантов выбора.
Задача 4.
Представим себе, что у нас есть 100 обезьян, каждая умеет печатать на компьютере. Каждая из обезьян случайно нажимает клавиши без перерыва на сон и обед. Оценить, сколько времени потребуется, чтобы среди напечатанных буквосочетаний появилась пушкинская строчка «Я помню чудное мгновенье».Решение
Строчка «Я помню чудное мгновенье» содержит «24 символа (включая пробелы, потомучтобезпробеловсовершенноневозможночитать). Будем считать, что обезьяна ударяет только по той части компьютерной клавиатуры, которая совпадает с пишущей машинкой. Это 48 клавиш. Количество возможных 24-символьных фраз, таким образом, равно 4824 (по правилу степени).
Если обезьян 100, каждая из них должна напечатать по 4824/100 фраз.
Вычисления показывают (проверьте это), что 4824/100 ≈ 2,24·1038. Если обезьяна печатает 2 символа в секунду, на это потребуется 1,12·1038 секунд, или 3,55·1030 лет. Для сравнения: наша Вселенная существует около 15·109 лет (15 миллиардов лет).
Зато желаемое трехбуквенное слово одна обезьяна получит примерно через 55300 секунд, а сто обезьян – через 553 секунды.
В заключение можно вспомнить Нобелевского лауреата П. Л. Капицу ( с его подачи эта история про обезьян появилась на русском языке): «Эта задача хорошо иллюстрирует необходимость тщательного подбора сотрудников научных институтов из людей с творческим дарованием, так как в науке каждый плохо осмысленный поиск почти сразу, как и в случае с обезьянами, понижает вероятность успешного решения поставленной задачи до нуля».
Задача 5.
Вовочка каждое утро и каждый вечер гуляет в парке. К парку ведет лестница из 11 ступенек. Вовочка поднимается по этой лестнице, иногда наступая на следующую ступеньку, а иногда перепрыгивая через одну – через две ступеньки прыгать он не умеет. Вовочка хочет подняться на эту лестницу всеми возможными способами. Сколько времени это у него займет?Решение
Ясно, что на первую ступеньку Вовочка может подняться только одним способом: наступив на нее. А вот для второй ступеньки «маршрутов» уже два: можно подняться на нее «шагом»: сначала на первую, а затем на вторую – а можно одним прыжком – минуя первую. На третью ступеньку (с подножия лестницы) можно подняться тремя способами: 1-2-3; 1-3 и 2-3 (здесь мы пишем номера тех ступенек, на которые Вовочка наступает, и не пишем номера тех, которые он пропускает). На четвертую ступеньку… Стоп, тут можно уже и запутаться.
Давайте так: на четвертую ступеньку можно или шагнуть с третьей, или прыгнуть со второй. Но мы знаем, что до третьей ступеньки можно добраться тремя маршрутами (и каждый маршрут потом продолжить до четвертой), а до второй ступеньки – только двумя (и эти два пути тоже продолжаем до четвертой). Значит, по правилу суммы, на четвертую ступеньку ведут уже пять путей.
На пятую ступеньку можно или шагнуть с четвертой, или прыгнуть с третьей. Но мы знаем, что до четвё… Знаете, словами это слишком долго писать. Давайте обозначим количество путей к n-й ступеньке через un. Запишем наши первые результаты:
u1 = 1;
u2 = 2;
u3 = 3;
u4 = 5.
Так вот, если на пятую ступеньку можно или шагнуть с четвертой, или прыгнуть с третьей, то, по правилу суммы, u5 = u4 + u3 = 5+3 = 8. Аналогично, u6 = u5 + u4 = 8+5 = 13. И для произвольной, n-й ступеньки будет выполняться правило суммы:
un = un-1 + un-2.
Чтобы довести решение до конца, осталось достроить нашу таблицу до u11:
u7 = u6 + u5 = 13+8 = 21;
u8 = u7 + u6 = 21+13 = 34 ;
u9 = u8 + u7 = 34+21 = 55;
u10 = u9 + u8 = 55+34 = 89;
u11 = u10 + u9 = 89+55 = 144.
Итак, Вовочка может подняться на одиннадцатую ступеньку 144 различными путями. Так как по этой лестнице он ходит два раза в день, то этих путей ему хватит на 72 дня.
Полученная последовательность чисел, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих, называется числами Фибоначчи в честь открывшего их итальянского математика 13-го века Леонардо Фибоначчи. Обычно ее начинают не с u1 = 1, а с предыдущего числа u0, которое тоже равно u2 – u1 = 1.
| n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
| un |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8
9
