По следам Великого Комбинатора

Из правила произведения есть важное следствие:

ПРАВИЛО СТЕПЕНИ

Пример 7

Бросаем 5 монет различного достоинства. Сколькими различными способами могут лечь эти монеты?

Решение.

Первая монета может лечь двумя способами: либо вверх орлом, либо вверх решкой.
Вторая монета тоже может лечь двумя способами. Так как положение второй монеты не зависит от положения первой, по правилу произведения для двух монет получаются 2·2 = 4 = 22 варианта:

ОО, ОР, РО, РР

Буква О обозначает «орел», буква Р– решку, чем больше буква, тем больше достоинство монеты.

Найдем число способов, которыми могут упасть три монеты. К каждой из (только что выписанных) четырех комбинаций двух монет можно добавить третью монету. Она, понятно, тоже выпадет либо орлом, либо решкой. Получается 4·2 = 2·2·2 = 8 = 23 вариантов:

ООО, ООР, ОРО,ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР

Точно так же доказывается, что 4 монеты могут расположится 16 различными способами (проверьте это), а для 5 монет есть 25 = 32 варианта. Мы их расположили в алфавитном порядке (все монеты обозначаются буквам одного размера).

01.OOOOO 02.OOOOP 03.OOOPO 04.OOOPP 05.OOPOO 06.OOPOP 07.OOPPO 08.OOPPP
09.OPOOO 1O.OPOOP 11.OPOPO 12.OPOPP 13.OPPOO 14.OPPOP 15.OPPPO 16.OPPPP
17.POOOO 18.POOOP 19.POOPO 2O.POOPP 21.POPOO 22.POPOP 23.POPPO 24.POPPP
25.PPOOO 26.PPOOP 27.PPOPO 28.PP0PP 29.PPPOO 3O.PPPOP 31.PPPPO 32.PPPPP

В каждом бросании пяти монет мы делали пять выборов из двух вариантов (орел – решка), получили
25 = 32 варианта. Продолжая наши рассуждения, можно доказать, что k монет могут упасть 2k способами. Теперь можно сформулировать общее правило степени: если нужно k раз сделать выбор из n вариантов, то это можно осуществить nk способами.