Из правила произведения есть важное следствие:

ПРАВИЛО СТЕПЕНИ

Пример 7

Бросаем 5 монет различного достоинства. Сколькими различными способами могут лечь эти монеты?

Решение.

Первая монета может лечь двумя способами: либо вверх орлом, либо вверх решкой.
Вторая монета тоже может лечь двумя способами. Так как положение второй монеты не зависит от положения первой, по правилу произведения для двух монет получаются 2·2 = 4 = 2² варианта:

ОО, ОР, РО, РР

Буква О обозначает «орел», буква Р– решку, чем больше буква, тем больше достоинство монеты.

Найдем число способов, которыми могут упасть три монеты. К каждой из (только что выписанных) четырех комбинаций двух монет можно добавить третью монету. Она, понятно, тоже выпадет либо орлом, либо решкой. Получается 4·2 = 2·2·2 = 8 = 2³ вариантов:

ООО, ООР, ОРО,ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР

Точно так же доказывается, что 4 монеты могут расположится 16 различными способами (проверьте это), а для 5 монет есть 2⁵ = 32 варианта. Мы их расположили в алфавитном порядке (все монеты обозначаются буквам одного размера).

В каждом бросании пяти монет мы делали пять выборов из двух вариантов (орел – решка), получили
2⁵ = 32 варианта. Продолжая наши рассуждения, можно доказать, что k монет могут упасть 2k способами. Теперь можно сформулировать общее правило степени: если нужно k раз сделать выбор из n вариантов, то это можно осуществить nk способами.