Сам Фибоначчи получил свой ряд как решение такой задачи (которую сам же и придумал). Текст задачи (кроме заголовка) – это перевод текста самого Фибоначчи:
Задача 6.
Кролики – это не только ценный мех…
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года. Природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется только по достижению двухмесячного возраста.Решение
Допустим, мы взяли новорожденную пару кроликов и поместили в крольчатник.
Через месяц (если кролики не умирают), у нас по-прежнему одна пара, потому что продуктивного 2-месячного возраста она еще не достигла:
n=1, u1 = 1
Еще через месяц рождается вторая пара:
n=2, u2 = 2
Через 3 месяца (от начала) взрослая пара родит младших детей, а молодая пара еще никого не родит (поскольку еще не достигла 2-месячного возраста):
n=3, u3 = 3
Через 4 месяца (от начала) родятся уже две пары крольчат: у исходной пары и у той, которая родилась через 2 месяца от начала. Итого будет 5 пар: три взрослых и две новорожденных.
n=4, u4 = 5
Чтобы облегчить дальнейшие расчеты, подметим, что число пар в текущем месяце (un) будет равно числу пар в предыдущем месяце (un-1), и к ним добавляется число новорожденных пар. А это число, в свою очередь, равно количеству пар, уже живших два месяца назад (un-2) – потому, что только «взрослые» пары, которым уже исполнилось 2 месяца, рожают по новой паре:
un = un-1 + un-2
Получается уже знакомая (по задаче со ступеньками) формула последовательности Фибоначчи.
Теперь найдите сами:
n=5, u5 =
n=6, u6 =
и т.д.
Вот генеалогическое древо этой кроличьей семьи:
Кстати, последовательность Фибоначчи возникает не только для генеалогического, но и для обыкновенного дерева, если на каждой ветке появляется новый побег каждую весну с тех пор, как этой ветке исполняется два года.
Надеемся, что вы, разбирая вместе с нами примеры, самостоятельно решая задачи и разобравшись в правилах суммы, произведения и степени, приобрели какой-никакой опыт работы с комбинаторными ситуациями. Теперь, на основе полученного опыта, рассмотрим новые комбинаторные задачи.
Перейти к следующей главе →
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
