Пример 11

 

Проказница-Мартышка,

Осел, Козел да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

(Иван Крылов, «Квартет»)

Вы прекрасно помните, чем эта затея закончилась. В каком порядке ни садились наши горе-исполнители, музыки у них не получилось. Как заметил Соловей, «А вы, друзья, как ни садитесь, всё в музыканты не годитесь».

Предположим, однако, что Соловей к нашим музыкантам не прилетел. Сколько раз они должны были пересаживаться, чтобы окончательно убедиться, что квартет у них не пойдет на лад?

Решение.

Пусть для наших четырех исполнителей есть четыре места: обозначим их по сторонам света

– С, В, Ю, З.

Сколькими способами может выбрать себе место косолапый Мишка?

Если он уже занял свое место, то сколькими способами может найти себе место Мартышка?

Сколько теперь осталось вариантов для Козла?

А Осел может только занять единственное оставшееся место.

Я думаю, вы догадались, что Мишка может выбирать из четырех вариантов, Мартышка – из трех, Козел – из двух, а Осел садится на единственное оставленное ему место. Все эти числа надо перемножить (наверное, вы не забыли правило произведения):

Пример 12

Часовой сонного царства.

Группа туристов из 8 человек решила ночью охранять свой лагерь. Группа спит с 23.00 до 7.00, и каждый из туристов дежурит по часу.

Сколькими способами можно выбрать дежурного на первый ночной час?

А сколько теперь кандидатов на дежурство во вторую смену? Третью? И т.д.?

Решение.

Дежурного на первый час можно назначить 8 способами, на второй – 7 способами, на третий – шестью и т.д. А всего способов распределить дежурных будет

Вы не забыли, как записывать такие произведения кратко?

Обобщение. Вывод рабочей формулы.

Сформулируем общую задачу. Пусть у вас есть множество из n элементов. Сколькими различными способами можно расположить их по порядку?

Первый элемент можно выбрать n способами, второй – (n-1) способом, третий -

(n-2) способами и т.д. Тогда последний, n-й элемент можно выбрать только 1 способом. Тогда, чтобы найти число способов, которым можно выбрать все k элементов, нужно перемножить все эти числа:

(3).

Это число называется числом перестановок из n элементов.

Эту формулу можно получить и по-другому. Ведь любая перестановка из n элементов – это размещение из n по n. Подставляя в формулу для размещений два одинаковых индекса, получаем:

(4).

– Что за бред? – скажете вы. Факториал нуля? Произведение всех чисел от единицы до … нуля?

Дело в том, что принято считать 0! = 1. Почему именно так? Вспомним, что такое факториал:

А теперь уберем мысленно последний множитель. Что останется? (n-1)! Значит:

(5).

Запишем это равенство для n = 1:

Так как 1! = 1, то и получается 0! = 1.

Вернемся к нашей формуле для размещений из n по n и подставим туда 0! = 1:

Что и требовалось доказать.