ЗАДАЧИ
Задача 11.
Буратино и папа Карло со своими друзьями решили отметить победу над Карабасом-Барабасом в Харчевне трех пескарей. С Буратино пришли четыре куклы, а с папой Карло – четыре человека.
Сколькими способами 5 кукол и 5 человек смогут сесть за 10-местным столом? А сколькими способами они смогут распределиться так, чтобы куклы чередовались с людьми? А как изменится ответ, если эта компания решит покататься на 10-местной карусели (в этом случае перестановки, переходящие друг в друга при повороте карусели, считаются одинаковыми)?Решение
В первом случае достаточно вычислить количество перестановок из 10 человек:
P10 = 10! = 3628800.
Во втором случае рассмотрим два варианта: во главе стола (обозначим это место номером 1) может сидеть либо кукла, либо человек. В первом варианте все 5 нечетных мест становятся «кукольными» а четные – «человеческими».. Количество способов, которыми 5 кукол могут занять все «кукольные» места, равно:
P5 = 5! = 120.
Столькими же способами все 5 человек могут занять человеческие места. Так как при каждом расположении кукол возможно любое расположение людей, то общее количество способов занять места за столом равно 1202 = 14400. Еще 14400 способов получаем, если во главе стола сидит человек (и на всех нечетных местах – тоже люди, а на четных – куклы). Итого получаем 28800 вариантов.
Чем отличается ситуация на карусели от ситуации за столом? Все перестановки нашей компании можно разделить на группы по 10, которые при вращении карусели невозможно будет различать. Если мимо вас на бешеной скорости проносится
АБВГДЕЖЗИКАБВГДЕЖЗИКАБВГДЕЖЗИК…,
то как это отличить от
ЕЖЗИКАБВГДЕЖЗИКАБВГДЕЖЗИКАБВГД?..
То есть количество перестановок на карусели в 10 раз меньше, чем за столом – т.е. 362880, а если поставлено условие, что люди и куклы должны чередоваться – то 2880.
Задача 12.
Сколько различных 4-значных чисел можно составить из цифр 1, 4, 5 и 7. Сколько среди них четных? Нечетных?Решение
Количество всех 4-значных чисел из этих цифр равно
P4 = 4! = 24.
Найдем количество четных чисел. Как известно, число четное, если оно заканчивается четной цифрой. Среди данных цифр четная одна: 4. Следовательно, все четные числа заканчиваются четверкой, а порядок остальных трех цифр может быть любым. Следовательно, количество четных чисел равно
P3 = 3! = 6.
Тогда количество нечетных чисел равно
24 – 6 = 18.
Задача 13.
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей, чтобы ни одна из них не смогла сбить никакую другую?Решение
Ясно, что никакие две ладьи не могут стоять на одной вертикали. Поэтому на каждой из 8 вертикалей должно стоять ровно по одной ладье. Значит, любое требуемое расположение ладей можно обозначить восемью цифрами от 1 до 8: первая цифра обозначает положение ладьи на вертикали a, вторая – на вертикали b, и т.д. При этом все цифры должны быть разными: на одной горизонтали ладьи тоже не должны находиться. Значит, количество расстановок ладей равно количеству перестановок из 8 цифр:
P8 = 8! = 40320.
Задача 14.
Бременские музыканты (Трубадур, Осел, Пес, Кот и Петух) дают мини-концерт, в котором каждый исполняет по одной песне. Сколькими способами можно составить программу концерта, при условии, что Кот не должен выступать раньше Пса?
Как изменится ответ, если Кот должен выступить сразу после Пса?Решение
Количество перестановок из 5 артистов равно
5! = 120.
Из них ровно в половине (т.е. в 60 вариантах) Кот выступает позже Пса. (Для доказательства заметим, что из любого «неподходящего» варианта программы можно сделать «подходящий», прочтя его от конца до начала, а из любой «подходящей» программы таким же образом можно сделать «неподходящую»).
Чтобы подсчитать число таких вариантов программы, чтобы Кот выступал сразу вслед за Псом, будем считать выступление Пса и поющего сразу же за ним Кота одним концертным номером. Тогда задача сводится к составлению программы из 4 номеров. Число вариантов такой программы равно
4! = 24.
Задача 15.
В языке королевства Икнатсо словом считается любое сочетание семи букв: И, К, Н, А, Т, С, О, в котором каждая буква встречается один раз. Других слов в языке нет.
Король поручил профессору Скоатни составить полный словарь языка Икнатсо, причем порядок букв в алфавите должен соответствовать порядку букв в названии страны.
Сколько слов окажется в словаре? Какое слово будет первым, последним? За именем профессора Скоатни в словаре оказалось имя короля. Как его зовут?Решение
По формуле (3) количество слов в словаре языка Икнатсо равно количеству перестановок из 7 букв:
P7 = 7! = 5040.
Если бы вы не знали формулы для числа перестановок, а хотели решить задачу простым перечислением слов, то, тратя по секунде на слово, вы писали бы почти полтора часа.
Первым словом в словаре будет то, в котором все буквы будут расположены по алфавиту. Докажем это.
Первой буквой первого слова в словаре должна быть И. Поскольку второй И в слове быть не может, следующей должна быть вторая буква алфавита, т.е. К. Аналогично доказываем, что третьей буквой должна быть Н, и т.д. Таким образом первое слово в словаре – ИКНАТСО. Не правда ли, очень патриотично?
Аналогично доказываем, что последним словом в словаре будет то, в котором буквы расположены в обратном алфавитном порядке: ОСТАНКИ.
На последний вопрос ответить несколько сложнее. Так как вы (и даже мы, авторы) не очень еще привыкли к алфавиту Икнатсо, заменим буквы цифрами: И=1, К=2 и т.д. Нужно найти, какое слово следует за словом СКОАТНИ, т.е. 6274531.
Взглянув на число 6274531, мы видим, что последние 3 цифры в нем стоят в обратном алфавитном порядке, т.е. это слово – последнее из тех, что начинаются на 6274. Но последние 4 цифры в обратном алфавитном порядке не стоят, т.е. из слов, начинающихся на 627, это слово не последнее. Значит, слово, стоящее за ним, тоже будет начинаться на 627. Следующей цифрой в нем будет 5, а три остальных (1,3,4) должны стоять по алфавиту (ведь это слово должно быть первыми из слов на 6275). Значит, имя короля 6275134, а если записать буквами, то СКОТИНА.
Кстати, король не заплатил профессору Скоатни за словарь ни одного тонасика (ТОНАСИК – местная денежная единица).
Перейти к следующей главе →
