Задача 4

Положите стопку оконных стекол на ровную поверхность и уроните на них килограммовую гирю. Сколько стекол разобьется? Объясните явление, опишите его теоретически, сделайте численные оценки.

Решение

1. Особенности хрупких материалов.

Хрупкость – способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Для хрупких материалов относительное удлинение составляет 2-5%, в ряде случаев доли процента. Зависимость напряжения от относительной деформации для хрупких материалов имеет «усеченный» вид по сравнению с обычными материалами: участки, соответствующие нелинейной деформации очень короткие.

2. Зависимость силы и потенциальной энергии упругости от параметров образца.

Рассмотрим образец площадью сечения $s$ с длиной $\ell_0$, путь он деформируется до длины $\ell$ (рис.1). Деформацию образца можно описать тремя величинами: величину
$$x=\triangle\ell=\ell-\ell_0\tag{1}$$
назовем смещением, величину $\varepsilon=(\ell-\ell_0)/\ell_0$ – относительной деформацией. Она положительна при растяжении и отрицательна при сжатии.

Поскольку для хрупких материалов участок, соответствующий нелинейной деформации очень короткий, будем для простоты считать, что сила упругости точно подчиняется закону Гука, (отклонения от закона Гука рассматривать не будем).
$$F=kx.\tag{2}$$
Работа по деформации полоски на величину $\triangle\ell=x$ (это потенциальная энергия упругости деформированного образца
$$\triangle A=\Pi_{упр}=F_{ср}x=F_мx/2\tag{3}$$
Жесткость образца $k$ зависит от его первоначальной длины и площади сечения:
$$k=Es/\ell_0,\tag{4}$$
тогда формула (3) примет вид
$$\Pi_{упр}=Esx/2\ell_0\tag{5}$$
Эту работу можно выразить через механическое напряжение $\sigma$ в образце, где
$$\sigma=F/s,\tag{6}$$
тогда (3) примет вид
$$\Pi_{упр}=\sigma sx/2\tag{7}$$

3. Условие разрушения образца.

Образец разрушается, когда напряжение $\sigma$ достигнет предела прочности: $\sigma=\sigma_{пр}$, при этом потенциальная упругости станет равной, согласно формуле (5′),
$$\Pi_{макс}=\sigma_{пр} sx_{макс}/2.\tag{7′}$$
а величину разрушающей деформации xмакс можно найти с помощью закона Гука(2), в который подставлены формулы (4) и (6). Из (6) получим
$$\sigma=Ex/\ell_0,\tag{6′}$$
для случая разрушения из этой формулы имеем
$$\sigma_{пр}=Ex_{макс}/\ell_0,\tag{6”}$$
откуда
$$x_{макс}=\sigma_{пр}\ell_0/E.\tag{8}$$
Подставляя (8) в (7′), получим потенциальную энергию упругости образца, достаточную для его разрушения:
$$\Pi_{макс}=\frac{\sigma_{пр}^2}{2E}S\ell_0.\tag{9}$$
Тогда, очевидно, при падении гири потенциальная энергия гири расходуется на разрушение $n$ стекол:
$$mgh=n\frac{\sigma_{пр}^2}{2E}S\ell_0,\tag{10}$$
откуда получаем формулу для числа разбитых стекол
$$n=\frac{2E~mgh}{\sigma_{пр}^2S\ell_0}.\tag{11}$$
Эта формула получена в предположении, что вся энергия гири переходит в энергию упругой деформации(которая потом, в конце концов, расходуется на образование трещин).

4. Механизм разрушения.

В ходе опыта наблюдается парадокс: гиря наносит удар по верхнему стеклу, а разбиваются и стекла, лежащие ниже. Почему это происходит?
В верхней пластине в момент удара возникает упругая волна, которая распространяется со скоростью звука в стекле $v_{зв}$. Эта волна переходит из пластины в пластину практически без отражения от границ пластины, потому что пластины плотно соприкасаются.
А разрушение каждой пластины происходит благодаря распространению трещины в этой пластине. Но трещина распространяется с максимальной скоростью $u$, которая не превышает максимальной скорости
$$u_{max}\approx 0,2 v_{зв}.\tag{12}$$
Время передачи воздействия можно оценить, зная, что звуковая волна должна пройти всю толщину пластины, т.е.
$$\tau_1\approx h/v_{зв}.\tag{13}$$
А время разрушения
$$\tau_2\geq\ell/u_{max},\tag{14}$$
где $\ell$ – длина трещины.
Если считать, что длина трещины сравнима с длиной или шириной стекла, получаем, что
сначала еще целая пластина передает ударное воздействие нижележащей пластине, а только потом разрушается.

Упражнение 1.

Бросили две игральные кости. Сколько исходов содержит пространство событий при этом испытании?
Какова вероятность, что:
а) На первом кубике выпало меньше 4 очков, а на втором – больше 4;
б) На первом кубике выпало больше очков, чем на втором;
в) На обоих кубиках выпала сумма в k очков? Ответить на этот вопрос для всех k от 1 до 12
Решение

Задача 2.

Для экзамена предложено 30 вопросов. В билет включается два случайно выбранных вопроса из этих 30.
Студент твердо знает 10 из этих 30 вопросов, а об остальных вообще не имеет понятия.
Сколько исходов содержит пространство событий?
Какова вероятность, что студент ответит на оба вопроса своего билета? Ровно на один вопрос? Ни на один вопрос?
Решение