ЗАДАЧИ
Задача 16.
Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?Решение
По формуле (7)
Число это небольшое, поэтому попробуем перечислить все варианты. Чтобы убедиться, что других вариантов нет, будем перечислять их в алфавитном порядке. Пусть, например, наши краски – желтая, зеленая, красная, синяя и черная. Тогда возможны такие варианты выбора 3-х красок:
| ЖЗК |
ЖЗС |
ЖЗЧ |
ЖКС |
ЖКЧ |
ЖСЧ |
ЗКС |
ЗКЧ |
ЗСЧ |
КСЧ |
Задача 17.
Четыре человека играют в домино. Как известно, комплект домино состоит из 28 костей. Сколькими способами можно их распределить между игроками – по 7 штук каждому? А сколькими способами можно распределить колоду из 32 карт между четырьмя игроками в преферанс, если по правилам этой игры троим раздается по 10 карт, а четвертому остаются две (так называемый прикуп)?Решение
Рассмотрим вначале игру в домино.
Количество способов, которыми может выбрать свои костяшки первый игрок, равно C728 . Второй игрок выбирает 7 костей из оставшихся 21 ( C714 вариантов). Четвертый игрок берет последние семь – единственным способом. Впрочем, можно считать, что он выбирает себе 7 костяшек из 7.
Вспомнив правило произведения и формулу (8) для количества сочетаний, увидим, что количество способов разобрать весь комплект домино равно
После сокращения дробей получаем, что это число равно
Подставив значения факториалов, получим, что это число равно 472 518 347 558 400, т.е. около 4,7∙1014. Если одна игра в домино занимает пять минут, то чтобы разыграть все варианты, понадобится около 4,5 миллиардов лет. Для сравнения, наша Земля как раз и существует около 4,5 миллиардов лет, а Вселенная – около 14 миллиардов лет.
Перейдем к преферансу. Раздать 10 карт первому игроку можно C1032 способами, второму – C1022 способами, третьему – C1012 способами, после чего две карты прикупа определяются однозначно.
По правилу произведения и формуле (8) количество вариантов сдачи карт равно
Подставляя значения факториалов, получаем, что в преферансе возможно раздать карты
2 753 294 408 504 640 способами, что примерно в 6 раз больше, чем для домино. Для того, чтобы разыграть все возможные сдачи карт в преферансе, потребуется вдвое больше времени, чем существует Вселенная.
Задача 18.
Современный врач, перед тем, как поставить больному диагноз, имеет возможность получить 3000 (три тысячи) различных анализов.
Опыт показывает, что поставить правильный диагноз можно, удачно подобрав комбинацию из пяти различных анализов.
Сколько времени потребуется врачу, если он будет подбирать эти комбинации «вслепую», т.е. случайным выбором «пятерок» из массива в 3000 анализов? На подборку каждой пятерки требуется 10 минут.Решение
По формуле (8) количество различных пятерок анализов равно
Если требуемая пятерка появится последней, то врачу потребуется подобрать 2·1015 пятерок, и затратить на это нужно 2·1016 минут, т.е. около 38·109 лет (38 миллиардов лет). Это – максимальное время, нужное для подбора требуемой пятерки. Поскольку заветная пятерка может появиться и раньше, нужно взять среднее время, которое вдвое меньше максимального – 19 миллиардов лет. Для сравнения: наша Вселенная существует около 14 миллиардов лет.
Задача 19.
Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 солдат. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, трех сержантов и десяти рядовых? Та же задача, если в отряд обязательно должны войти командир роты и сержант Петров?Решение
Офицера можно выбрать C13 способами, сержантов C36 способами, рядовых – C1060 способами. Так как к любому офицеру можно добавить любых сержантов и солдат, эти числа необходимо перемножить. Поэтому наш отряд можно составить
способами. Если командир роты и сержант Петров должны обязательно войти в отряд, то остается выбрать еще двух сержантов из 5 и 10 солдат из 60. Это можно сделать
способами.
